Over wiskunde en spel, over hemel en hel en over eindig en oneindig

Stel: je bent overleden en tot jouw grote verbijstering kom je in de hel terecht. Niet dat je het niet had verwacht maar toch. Evenwel is de duivel nog de slechtste niet want je krijgt een deal aangeboden. Elke dag wordt je een loterij voorgesteld. Doe je niks dan gebeurt er ook niks. Maar zeg je, prima, vandaag doe ik mee, dan wordt het spel gespeeld en is de uitkomst bindend. Op de eerste dag zijn er twee lotjes om uit te kiezen, één met Hemel op (wit) en één met Hel op (zwart). Op de tweede dag zijn het er vier, drie wit en één zwart en opnieuw mag je één lot trekken. Op de derde dag acht, zeven wit en één zwart …. Het patroon is duidelijk: elke dag verdubbelt het aantal lotjes waarvan maar één zwart en je mag één lot trekken. Let wel, je kan echt maar één keer deelnemen. De dag dat je meedoet, zit je na de trekking of eeuwig in de hel of eeuwig in de hemel. Wat doe je?

De eerste dag laat je mooi voorbijgaan want een kans van een op twee is te riskant. De dag nadien heb je drie kansen op vier om de hemel te winnen, je zou gek moeten wezen om zo’n risico te nemen. Maar dag twee is ook niet goed want dag drie heeft nog betere kansen. En dan zie je het: de duivel is wel degelijk de slechtste want voor elke dag is de dag nadien iets beter dus blijf je wachten en wachten of, anders gezegd, je blijft eeuwig in de hel en je hebt de hemel definitief verloren. Dat je een eeuwigheid in de hel doorbrengt heb je maar aan een persoon te danken: jezelf! Een straf de duivel waardig, perverser krijg je het niet.

Dit curieuze verhaal is niet bedacht door een fictieschrijver hoewel het in de handen van Jorge Luis Borges iets waanzinnig moois zou hebben opgeleverd. Het is wel bedacht door wiskundigen, economen, psychologen en filosofen. De duivelse weddenschap hoort thuis in de zogenoemde speltheorie, een respectabele tak in de vermelde disciplines. Speltheorie is de wiskundige theorie die probeert te begrijpen wat het betekent om in gegeven omstandigheden, met de nodige onzekerheden en toevalligheden, uit een aantal alternatieven een keuze te maken en wel zo dat die keuze op één of andere manier kan verantwoord worden. Weinig verrassend is speltheorie zeer goed toe te passen op … spelen. Denk maar aan schaken. Gezien het de bedoeling is om te winnen, zullen alleen die zetten gekozen worden uit alle mogelijkheden die de kans op winst groter maken. Zo ook zal wie een sudoku invult de cijfers zo plaatsen dat aan de voorwaarden voldaan is: op elke rij, op elke kolom en in elk drie maal drie vierkantje komen de cijfers één tot en met negen voor.

Het willen winnen is een specifieke invulling van een algemener idee: als je de keuze hebt tussen twee mogelijkheden en de ene vind je beter dan de andere dan ga je voor de ene. Dit idee kan je probleemloos uitbreiden naar een willekeurig aantal mogelijkheden, als je ze maar per twee kunt rangschikken. Lijkt dat niet waanzinnig logisch: kies voor het beste? In het economische denken draait het vaak om het behalen van meer winst of het vergroten van het economische nut. We spreken niet voor niets van het spel van vraag en aanbod. Allemaal goed en wel maar het hemel-helspel laat zien dat het niet altijd zo logisch uitvalt. Precies omdat elke dag nadien beter is dan de dag ervoor – ‘beter’ betekent hier een grotere kans de hemel te winnen – laat je elke dag passeren. Niet erg logisch dus.

Die nevenschikking van ‘niet’ en ‘logisch’ doet de filosoof opkijken die zich met graagte in het debat mengt. De regel kan blijkbaar niet onvoorwaardelijk “Kies het beste” zijn, maar wel “Kies het beste tenzij …” en de vraag wordt uiteraard wat er op de drie puntjes kan ingevuld worden. Stel dat we dit probleem opgelost krijgen – wat voorlopig nog niet echt is gebeurd – dan stelt zich meteen een nog groter probleem. De uitdrukking ‘het beste’ suggereert dat het beste voor de een meteen ook het beste voor de ander moet zijn. Maar is dat zo? In het hemel-helspel zal de stoïcijn niets ondernemen en de situatie aanvaarden zoals ze is, terwijl de professionele gokker op de eerste dag al wil deelnemen omdat hij of zij het gevoel wil hebben te leven, ook al is het in de hel.

Spreken over gevoel is niet zonder gevaar want nu willen de psychologen ook hun zeg hebben want ‘echte’ mensen kennen toch emoties, passies, betrokkenheden en engagementen en zo wordt de zaak nog complexer. Het verklaart wel waarom Blind getrouwd en andere dating- en koppelprogramma’s zo’n risicovolle onderneming zijn, zeker geen win-winsituatie! Is de mens dan toch maar een hopeloos geval waar niets zinnigs over te zeggen valt? Vanuit de hel zie ik Jean-Paul Sartre de schouders ophalen, prevelend “Wat had je gedacht?”. Albert Camus legt de rots al klaar voor Sisyphus en Samuel Beckett laat Godot nog maar eens nutteloos aankondigen.

Wat een vreemde wending heeft dit inktzwarte betoog genomen! Hoe ben ik hier terechtgekomen? Dit moet anders, terug naar af dan maar.

Wat is het probleem met de helse weddenschap, oorzaak van de ellende waarin we zijn terechtgekomen? Eenvoudigweg dit: dat er voor elke dag een volgende dag is. Stel dat de loterij maar een eindig aantal dagen zou aangeboden worden. Dan is het antwoord eenvoudig: wacht tot de laatste dag. Maar die is er niet, het aantal dagen is immers zonder grens, het aantal is oneindig. Zouden we zo vermetel zijn om te stellen dat de wereld die wij bewonen zonder meer in al haar aspecten eindig is dan stelt het probleem zich niet. Goed! Vladimir en Estragon halen opgelucht adem, nog eens. Behalve dat. Behalve dat de wiskunde die wij kennen het niet kan stellen zonder oneindigheid. Hoeveel natuurlijke getallen zijn er? 0, 1, 2, 3, … oneindig dus. Hoeveel negatieve getallen? Oneindig. Breuken? Oneindig. Het aantal punten op een rechte? Oneindig. Waar snijden twee evenwijdige rechten elkaar? Precies, in het oneindige. Neem een lijnstuk van 1 meter. Deel het in twee. Deel de twee stukken in twee. Deel de vier stukken die je bekomt in twee. Hoe lang kan dit doorgaan? Oneindig lang natuurlijk want elk stukje dat je bekomt, hoe klein ook, kan nog altijd gedeeld worden en dus kan je een volgende deling uitvoeren. Zonder eind. Welk spel spelen die wiskundigen eigenlijk?

Het antwoord is het meest wonderbaarlijke spel denkbaar, namelijk proberen te winnen van de oneindigheid. Want dat is de ultieme paradox: hoe kunnen we vanuit onze eindigheid het oneindige denken? Je zou verwachten dat de opdracht tot mislukken gedoemd is maar dat is niet zo, het is een prachtig spel van lukken en mislukken. Ter illustratie een paar beweringen die wiskundig gesproken allemaal correct zijn, zonder toelichting om een waar ‘huh!?’-gevoel op te roepen: er zijn evenveel even getallen als er getallen zijn, het aantal punten op een rechte is oneindiger dan het aantal natuurlijke getallen, een som van een oneindig aantal getallen kan eindig zijn en er bestaat een oneindigheid van oneindigheden. Mag het verbazen dat velen, filosofen, theologen en wiskundigen zich hebben afgevraagd of God een wiskundige is? En zo zijn we toch weer in hemel en hel beland.

Let wel, de pragmaticus zal het bovenstaande betoog met een enkele zin helemaal onderuit halen en dus overbodig maken door op te merken dat je alle ellende kunt vermijden door ervoor te zorgen dat je niet in de hel terechtkomt. Helpt dit? Blaise Pascal heeft met zijn infame weddenschap – durf je het aan goddeloos te leven, als er ook maar de geringste kans is dat hij bestaat? – een verdienstelijke poging gedaan, helaas geloofde hij er zelf niet in.

Bekijk het artistieke weerwoord van Malika Soudani